AS INFINTAS FACES DO INFINITO

TEXTO DO MEU AMIGO GUILHERME CALDERANO, MESTRE DAS MUITAS E MULTIPLAS MATEMÁTICAS.

 

Um breve tratado sobre o INFINITO e suas nuanças.

 

Infinito:1- Sem fim, termo ou limite; infindo. 2- De extensão ou de intensidade extremas; imenso. 3- Inumerável. 7 Grandeza cujo módulo é arbitrariamente grande, tão grande quanto se possa ou queira supor. (AURÉLIO – 2004)

Creio que não é preciso dizer o quanto é vasto o assunto que proponho nesse artigo. Falar ou escrever sobre o infinito, desde sempre, pressupõe certa leveza de espírito, pois lidamos com algo não palpável e impróprio. A Filosofia e a Matemática são ciências que muito fazem para o infinito e vice-versa. Ao longo desse texto, vou sugerir algumas reflexões que atentam para o cotidiano dos alunos e professores do Ensino Médio e Superior.

O infinito denota, em geral, uma realização de plenitude. Existem as ciências cujo objeto de investigação gira em torno do infinitamente pequeno, ou do infinitamente grande. Tem-se, por exemplo, a Química, a Biologia ou a Geologia com os aparatos de análises microscópicas; ou a Física e a Astronomia com suas preocupações de larga escala.

É importante dizer que o infinito para a matemática não é um número propriamente dito. É possivelmente um “estado numérico”, uma utopia, algo tantalizante. Em se tratando da Matemática escolar, sabemos que qualquer conjunto numérico apresentado na educação básica é, por excelência, inumerável: existem infinitos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais ou complexos. Quando se preocupa em ordenar tais números em sequência crescente ou decrescente, usamos os naturais como instrumento de cardinalidade. Mas veja: a partir dos racionais, o infinito entra em cena em situações inusitadas: Não se sabe, por exemplo, qual é o próximo número racional depois do 1. Será o 1,1? Ou 1,01? Ou 1,001? Pode-se, por conseguinte, dizer que existem infinitos números racionais entre 0 e 1, entre 1 e 2 ou entre quaisquer dois inteiros. Aqui se consolida a ideia de que existem conjuntos numéricos com infinitos elementos, mesmo tendo um início e um fim.

Vejamos ainda uma situação intrigante: seja o conjunto dos naturais N={0,1,2,3,4,5,6,7,8…} e o conjunto dos números naturais pares Np = {0,2,4,6,8,10,…}, ambos com infinitos termos. Qual dos dois conjuntos é maior? Esta é uma discussão interessantíssima entre os matemáticos. Quando contamos o primeiro par, contamos o primeiro natural. Quando contamos o segundo par, contamos o segundo natural e assim por diante. Ou seja, mesmo sendo um subconjunto dos naturais, os números pares tem tantos elementos quanto se imagina; sendo contados um a um. Georg Cantor (1845-1918) talvez tenha sido o primeiro a levantar essa questão acerca da quantidade de elementos de um conjunto infinito. Para os mais interessados, sugiro a  pesquisa sobre a teoria dos Transfinitos de Cantor.

Outra característica marcante da presença do infinito na matemática é na concepção dos números irracionais. A saber, os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos pela divisão de dois inteiros. Mas não pensem que tais números são raríssimos no universo matemático. Tenham a certeza de que a irracionalidade numérica está mais presente do que se parece. O que seria da circunferência sem o número “pi”, ou o quadrado sem a “raiz quadrada de dois”? O que seria dos logaritmos naturais sem o notável “número de Euler”, ou as aplicações da razão áurea sem o belíssimo número “phi”? Todos estes números são irracionais – possuem infinitas casas decimais e não periódicas! Creio, porém, que a irracionalidade não pode ser confundida com a inexatidão. Mesmo tendo infinitas casas decimais, um número irracional pode ser uma ou a única raiz de um problema matemático. Pode-se exemplificar tomando-se um círculo de raio 1. Esse círculo, que é único, possui uma só área. Tal área é igual a “pi” e pronto!

É também muito comum no Ensino Médio e Superior, a ideia das séries infinitas, convergentes ou divergentes. Quando se estuda Progressões Geométricas, por exemplo, aprendemos a somar infinitas parcelas de uma sequência. Como é possível chegar a um resultado de uma soma cuja quantidade de parcelas não tem fim? Esquisito ou não, a soma: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + …,  tem como resultado 16. Na verdade, toda PG de razão q, -1 < q < 1, tem seu termos sempre cada vez mais próximos do zero (dizemos: tendendo a zero). Ou seja, na soma anterior, percebe-se que cada termo da sequência é a metade do termo anterior e assim sucessivamente. O zero é “quase” palpável quando se considera um número grande de termos. Surge, então, a ideia intuitiva de um limite.

A teoria de limite vai muito além do que proponho nessa discussão do infinito. No entanto, existem outros casos curiosos do infinito com os quais a matemática básica se confronta cotidianamente. Observem as representações gráficas das funções exponenciais. Percebem que tais curvas não tocam o eixo das abscissas independente do tamanho de x? O mesmo acontece com as representações logarítmicas – que neste caso, a curva não toca o eixo das ordenadas. Outra experiência interessante é procurar esboçar o gráfico da função dada por y = 1/x, sendo que x é um número real não nulo. Note que, no caso da função recíproca y = 1/x, quanto maior for o x, mais próximo do zero é o y e, quanto mais próximo do zero for o x, maior é o y.

Não podemos esquecer a Trigonometria e a Geometria com as suas atribuições acerca do infinito. Tomemos como exemplo primoroso o fato de    tangente de 90º não se definir. Sabemos que se y = tg(x) e se x for um ângulo pertíssimo de 90º, podemos ter um número muitíssimo grande ou muitíssimo pequeno! Se aproximarmos do 90º pelo primeiro quadrante, 89º ; 89,9º ; 89,99º ; 89,999º ,  a tangente toma valores extremamente grandes. Ao contrário, se aproximarmos de 90º pelo segundo quadrante, 90,1º; 90,01º ; 90,001º , a tangente toma valores extremamente pequenos. Assim, dizemos que a imagem da função tangente oscila entre o “menos infinito” e o “mais infinito” , não podendo, é claro, atingi-los. O mesmo se baseia com a Geometria Euclidiana tradicionalmente aplicada. Nela, existem infinitos pontos, retas e planos. Mas cuidado! Retas paralelas não vão se cruzar quando o cenário for o plano euclidiano! Em tese, seu cruzamento se faz no infinito (ponto impróprio). Mas se acharmos o infinito longínquo, tem-se uma solução: basta concebermos outras abordagens de Geometria (geralmente chamadas de não-euclidianas). Lá, retas paralelas podem e devem se encontrar. Mas fiquem tranquilos! Não será necessário rasgar seus cadernos de Geometria! Euclides, com seus axiomas e teoremas, ainda será uma importante referência para novas abordagens e metodologias. Eis um grande assunto para um próximo artigo.

Encerro o texto sugerindo outra reflexão tangível ao conceito de infinito. O que dizer da frase “Saber não ocupa espaço”? Em minha opinião, ela transborda Geometria e Filosofia. É claro que o “espaço” aqui sugerido, está relacionado ludicamente com um lugar de dimensão infinita; onde o saber, visto como conhecimento acumulado, por maior que seja, sempre se encaixa nesse universo. Não adentro, porém, nas muitas teorias já estabelecidas sobre o conhecimento humano. Meu objetivo, no entanto, é incitar a justificativa de que quanto mais aprendemos, mais nos sentimos no desejo de aprender mais. Creio que para nós, seres pensantes, seja notória a ideia de que a humildade esbarra nas utopias do conhecimento. O fato de querermos saber mais e melhor, faz parte da nossa natureza, mesmo, no fundo, sabendo que a impossibilidade do conhecimento absoluto e infinito seja verdadeira.

Lembro-me de uma história contada por meu pai nos arredores lá de casa quando eu era adolescente. É uma história sobre o infinito, sobre conhecimento e sobre humildade:

Ei-la:

Em um lugar distante, existia um rei muito preocupado com a formação de seu filho, um jovem muito esperto e entusiasta. O rei, no entanto, contratou o sábio dos sábios para se encarregar da preparação do príncipe. O rei queria que o filho se tornasse o mais importante rei daquele lugar, pleno de conhecimentos, coragem e justiça. Sendo assim, o sábio, no primeiro dia de contato com o jovem, o levou para uma floresta perto do castelo. O príncipe não entendeu o porquê de não terem ido para a biblioteca ou para o laboratório. Afinal, ele precisava conhecer todas as ciências e suas aplicações. Ao indagar seu mestre o motivo daquele passeio, este lhe respondeu: “A primeira e mais importante lição você terá hoje e será aqui, nesta floreta”.

O mestre sentou-se em um lugar calmo e disse ao jovem príncipe: Caminhe naquela direção e verás um conjunto de árvores com folhas coloridas. Ali encontrarás uma cachoeira e possivelmente alguns animais. Eu quero que fique neste lugar e ESCUTE tudo o que lá existe. Quando estiver certo, volte e conte-me.

Chegando ao local, o príncipe notou a tal cachoeira e averiguou tudo aquilo que o mestre havia dito sobre o lugar… Ficou por lá uns 5 minutos e voltou.

Ele disse ao mestre: Foi simples esse exercício! Escutei a água batendo nas pedras, o barulho de alguns pássaros e insetos. O mestre diz que a resposta está errada e pede o jovem para voltar e fazer novamente o que foi pedido. Retrucando a posição do sábio o príncipe volta, e após chegar ao local procura abrir os ouvidos precisamente e com calma, sem pressa. Depois de 45 minutos ele volta e diz ao mestre: Mestre, pude perceber bem mais coisas desta vez: Escutei esquilos subindo nas árvores, além dos seus filhotes pedindo comida. Também escutei o som do vento nos galhos das árvores e percebi o barulho de alguns peixes na calmaria do lago. Muitos outros pássaros com sons diversos também se manifestaram… O mestre respirou e disse ao jovem que a resposta estava errada mais uma vez. Pediu a ele mais atenção quando voltasse à cachoeira. Frustrado e com raiva, o príncipe retorna pela terceira vez ao local. Aos poucos sua inquietação diminui e se entrega totalmente à contemplação da floresta. Ele percebe que a floresta já é parte dele e vice versa…

Depois de 5 horas, ele volta cabisbaixo, olha para o seu mestre e diz: Mestre, NÃO SEI SE OUVI TUDO, mas (…). Nesse instante, depois de um breve e sincero sorriso, o mestre o interrompe e diz: Resposta correta meu jovem! Agora está pronto pra ser rei!

 

“O meu anseio de chegar ao infinito é por que sei que lá as paralelas vão se encontrar!”

(Dom Helder Câmara)

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